Publicação em Diário da República: Despacho n.º 7795/2021 - 09/08/2021
6 ECTS; 1º Ano, 1º Semestre, 56,0 TP , Cód. 911242.
Docente(s)
- Carlos Filipe Perquilhas Baptista (1)(2)
(1) Docente Responsável
(2) Docente que lecciona
Pré-requisitos
Não aplicável.
Objetivos
1. a) operar com números complexos;
b) operar com matrizes;
c) discutir e resolver sistemas de equações lineares, utilizando os diversos métodos estudados;
d) calcular determinantes, estudar as suas propriedades e utilizá-los em diversas aplicações;
e) definir e determinar valores e vetores próprios de matrizes e discutir diagonalização de matrizes;
f) compreender a noção de (sub)espaço vetorial e utilizar técnicas vetoriais na resolução de problemas;
g) definir produtos interno, externo e misto em espaços vetoriais, assim como estudar as suas propriedades e aplicações;
h) definir e identificar, geométrica e analiticamente, retas e planos;
2. utilizar técnicas matriciais e vetoriais em problemas no âmbito do curso em questão;
3. desenvolver o raciocínio matemático, lógico, analítico e crítico que permita a criação de autonomia na aprendizagem para a resolução de problemas.
Programa
I. NÚMEROS COMPLEXOS
1.1. Formas algébrica e trigonométrica;
1.2. Potências e raízes;
1.3. Fórmulas de De Moivre.
II. MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
2.1. Noções gerais. Alguns tipos particulares de matrizes;
2.2. Operações com matrizes e propriedades;
2.3. Operações elementares. Característica de uma matriz;
2.4. Sistemas de equações lineares:
2.4.1. Representação matricial de um sistema de equações lineares;
2.4.2. Classificação e discussão de um sistema de equações lineares por recurso ao teorema de Rouché;
2.4.3. Resolução de sistemas de equações lineares por recurso ao método de eliminação de Gauss-Jordan;
2.5. Inversão de matrizes:
2.5.1. Matrizes singulares e não-singulares;
2.5.2. Inversão de uma matriz não-singular por recurso ao método de Gauss-Jordan;
2.6. Decomposição P^T LU:
2.6.1. Matrizes elementares e matrizes de permutação;
2.6.2. Decomposição P^T LU de uma matriz;
2.6.3. Resolução de sistemas de equações lineares usando a decomposição P^T LU da matriz dos coeficientes do sistema.
III. DETERMINANTES E SUA APLICAÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E À INVERSÃO DE UMA MATRIZ QUADRADA
3.1. Definição. Regra dos produtos cruzados para o cálculo de determinantes de 2ª ordem;
3.2. Teorema de Laplace;
3.2.1. Menor complementar e complemento algébrico de um elemento de uma matriz quadrada;
3.2.2. Cálculo do determinante de uma matriz quadrada por recurso ao teorema de Laplace;
3.3. Algumas propriedades dos determinantes;
3.4. Cálculo da inversa de uma matriz não-singular a partir da sua matriz adjunta;
3.5. Aplicação dos determinantes aos sistemas de equações lineares. Regra de Cramer.
IV. ESPAÇOS VETORIAIS REAIS
4.1. Introdução. Definição e exemplos de espaços vetoriais;
4.2. Subespaços vetoriais;
4.3. Combinações lineares de vetores;
4.4. Subespaço gerado por um conjunto de vetores;
4.5. Dependência e independência linear de vetores;
4.6. Bases e dimensão de um espaço vetorial;
4.7. Espaço-linha e espaço-coluna de uma matriz.
V. VALORES E VETORES PRÓPRIOS. APLICAÇÃO À DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES
5.1. Valores e vetores próprios de matrizes quadradas: definições, polinómio característico e multiplicidade algébrica de um valor próprio;
5.2. Subespaço próprio associado a um valor próprio e multiplicidade geométrica de um valor próprio;
5.3. Cálculo de valores e vetores próprios;
5.4. Propriedades dos valores próprios;
5.5. Matrizes diagonalizáveis e diagonalização de uma matriz.
VI. NOÇÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA
6.1. Produto interno de vetores: definição e propriedades;
6.2. Produto externo e produto misto: definição, propriedades, aplicações ao cálculo da área de um paralelogramo e ao volume de um paralelepípedo;
6.3. Representação analítica da reta;
6.4. Representação analítica do plano.
Metodologia de avaliação
Avaliação contínua: realização de duas provas escritas sem consulta, cada uma classificada de 0 a 10 valores. A classificação final (arredondada às unidades) será a soma das avaliações das duas provas escritas (notas não arredondadas). O aluno é dispensado de exame se obtiver uma classificação final superior ou igual a 10 valores e se obtiver pelo menos 3 valores em cada uma das duas provas escritas.
Avaliação por exame: realização de uma prova escrita sem consulta, classificada de 0 a 20 valores, sobre toda a matéria lecionada ao longo do semestre. O aluno é aprovado se, nesta prova, obtiver uma classificação superior ou igual a 10 valores.
Bibliografia
- Fernandes, V. e Giraldes, E. e Smith, P. (1997). Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica. (pp. 1-376). Lisboa: McGraw-Hill
- Ferreira, M. e Amaral, I. (2008). Álgebra Linear: Matrizes e Determinantes. (Vol. 1º). (pp. 1-240). Portugal: Edições Sílabo
- Ferreira, M. e Amaral, I. (2009). Álgebra Linear: Espaços Vetoriais e Geometria Analítica. (Vol. 2º). (pp. 1-160). Portugal: Edições Sílabo
- Leon, S. (2010). Linear Algebra with Applications. (pp. 1-552). USA: Pearson
Método de Ensino
Aulas teórico-práticas, em que se expõem e exemplificam as matérias respeitantes a cada um dos conteúdos programáticos.
Software utilizado nas aulas
Não aplicável.
Aprovado em Conselho Técnico Cientifico: Aprovada na Ata nº 11/2023 de 13/12
Download da Ficha da Unidade Curricular (FUC)
