6 ECTS; 1º Ano, 2º Semestre, 30,0 T + 45,0 PL , Cód. 963807.
Docente(s)
- Ana Cristina Becerra Nata dos Santos (2)
(1) Docente Responsável
(2) Docente que lecciona
Pré-requisitos
Conhecimentos de cálculo algébrico ao nível do 12º ano.
Objetivos
1. Aquisição de conhecimentos no domínio da: 1.1. Análise Matemática; 1.2. Matemática Financeira; 1.3. Métodos numéricos; 2. Desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico, analítico e crítico; 3. Formulação, resolução e extrapolação de problemas matemáticos para outras realidades.
Programa
I CÁLCULO DIFERENCIAL EM R E EM Rn
1. Generalidades sobre funções reais de variável real.
2. Breve referência ao cálculo de limites. Função derivada. Funções diferenciáveis. Interpretação geométrica do conceito de derivada. Regras de derivação. Derivadas sucessivas.
3. Aplicação das derivadas ao estudo de funções e de certos problemas de natureza Económica.
4. Funções reais de várias variáveis reais.
4.1. Conjuntos de pontos em Rn.
4.2. Definição de funções reais de duas (ou mais) variáveis reais. Domínios de definição e respetiva representação gráfica.
5. Breve referência ao cálculo de limites de funções em Rn. Derivadas parciais. Derivadas parciais de ordens superiores.
6. Funções homogéneas: definição e teorema de Euler
7. Fórmula de Taylor e respetiva aplicação ao cálculo de extremos livres de funções definidas em Rn.
II CÁLCULO INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
1. Definição e generalidades. Propriedades dos integrais indefinidos.
2. Primitivas imediatas e quase-imediatas.
3. Métodos de primitivação.
3.1. Primitivação por decomposição.
3.2. Primitivação por partes.
3.3. Breve referência ao método de primitivação por substituição.
4. Primitivação de alguns tipos de funções racionais.
5. Definição de integral simples de Riemann e sua interpretação geométrica (somas de Darboux). Condições de integrabilidade e propriedades dos integrais.
6. Teorema fundamental do cálculo integral. Teorema da média do cálculo integral e suas aplicações.
7. Métodos de integração.
7.1. Integração por decomposição.
7.2. Integração por partes.
7.3. Breve referência ao método de integração por substituição.
8. Integrais impróprios com limites de integração infinitos.
9. Aplicações geométricas dos integrais: cálculo de áreas de regiões planas em coordenadas cartesianas.
III EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ª E 2ª ORDENS
1. Noções preliminares: Definição de equação diferencial, solução geral, soluções particulares e condições iniciais (ou de fronteira). Alguns exemplos de motivação.
2. Equações diferenciais lineares de 1ª ordem.
2.1. Equação homogénea.
2.2. Equação não-homogénea (ou completa): método de Lagrange (ou da variação da constante arbitrária).
3. Equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes.
3.1. Equação homogénea e correspondente equação característica.
3.2. Equação não-homogénea (ou completa): método de Lagrange (ou da variação das constantes arbitrárias).
IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. Juros simples, juros compostos e juros compostos continuamente.
2. Progressões geométricas: definição e expressão da soma dos n primeiros termos. Aplicações às poupanças programadas (juros compostos e compostos continuamente) e aos empréstimos (juros compostos).
V ALGUMAS NOÇÕES DE MÉTODOS NUMÉRICOS
1. Auxiliares do cálculo numérico.
2. Resolução numérica de equações não-lineares de uma variável (método da bissecção e método da secante).
3. Interpolação de polinomial: polinómio interpolador de Newton das diferenças descendentes.
4. Diferenciação numérica.
5. Integração numérica: regra dos trapézios. Análise do erro cometido.
III EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ª E 2ª ORDENS
1. Noções preliminares: Definição de equação diferencial, solução geral, soluções particulares e condições iniciais (ou de fronteira). Alguns exemplos de motivação.
2. Equações diferenciais lineares de 1ª ordem.
2.1. Equação homogénea.
2.2. Equação não-homogénea (ou completa): método de Lagrange (ou da variação da constante arbitrária).
3. Equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes.
3.1. Equação homogénea e correspondente equação característica.
3.2. Equação não-homogénea (ou completa): método de Lagrange (ou da variação das constantes arbitrárias).
IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. Juros simples, juros compostos e juros compostos continuamente.
2. Progressões geométricas: definição e expressão da soma dos n primeiros termos. Aplicações às poupanças programadas (juros compostos e compostos continuamente) e aos empréstimos (juros compostos).
V ALGUMAS NOÇÕES DE MÉTODOS NUMÉRICOS
1. Auxiliares do cálculo numérico.
2. Resolução numérica de equações não-lineares de uma variável (método da bissecção e método da secante).
3. Interpolação de polinomial: polinómio interpolador de Newton das diferenças descendentes.
4. Diferenciação numérica.
5. Integração numérica: regra dos trapézios. Análise do erro cometido.
Metodologia de avaliação
Avaliação contínua: duas frequências escritas sem consulta (50% cada e nota mínima de 6 val. em cada). Avaliação por exame: prova escrita sem consulta sobre toda a matéria. Aprovação (em qualquer modalidade): pelo menos 10 val. em 20 val.
Bibliografia
- Armstrong, B. e Davis, D. (2002). College mathematics: Solving problems in finite mathematics and calculus. USA: Pearson Education
- Ferreira, M. e Amaral, I. (2006). Primitivas e Integrais. Lisboa, Portugal: Edições Sílabo
- Larson, R. (2006). Cálculo. (Vol. I). USA: McGraw-Hill
- Santos, C. (2002). Fundamentos de análise numérica. Lisboa: Edições Sílabo
Método de Ensino
As aulas teóricas são expositivas, fazendo prevalecer uma forte interação entre os conceitos e as suas aplicações. As aulas práticas são destinadas à consolidação dos conhecimentos adquiridos por intermédio da resolução e discussão de exercícios.
Software utilizado nas aulas
